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L'équerre et le compas

Les nombres lu ...

2 Mai 2008, 13:22pm

Publié par SaT

Les divines proportions selon (à peu-prêt) Anderson :
"Un Maçon de bonne constitution doit s'approcher du nombre d'or... Ainsi , le rapport entre le monde extérieur (A), sa loge (B) et son nombril (C) doit être exprimé ainsi :
Si le rapport des distances entre le monde extérieur et son nombril est proportionnel au rapport des distances entre le monde extérieur et sa loge, alors il dégagera une impression immédiate d'harmonie et de beauté.
Pour calculer sa sagesse on se réfèrera au positionnement du tablier, qui doit impérativement se situer au tiers inférieur de son anatomie."


Voici la planche tracée du Vendredi 25 Avril sur les Chiffres et les Nombres de Jean François C.:, VM.: de la L.: l'Avenir Social à l'O.: de Saint Chinian


Les chiffres et les nombres.


En parler, me semblait au premier abord, facile et naturel. En fait, cela s’est avéré, à la réflexion, beaucoup plus complexe.

Ce sujet, qui pouvait apparaître, simple et rationnel, s’est révélé être moins réel, moins entier, moins parfait et plus relatif qu’il n’y semblait.

Par exemples :

Prenons 1. C’est un nombre, cela ne fait aucun doute (c’est aussi un chiffre d’ailleurs mais nous y reviendrons) ;

De même 10 est un nombre, il est tout simplement 10 fois plus grand que le précédant ; par contre ce n’est pas un chiffre;

Avec 10+100, c'est-à-dire 1 suivi de cent zéros, nous sommes toujours en présence d’un nombre mais les choses se compliquent sensiblement car on a du mal à se faire une idée de la quantité représentée;

A l’inverse, avec 10-100, 0 virgule 99 zéros suivis d’un 1, c’est alors de la rareté dont il est difficile d’apprécier la taille ;

D’emblée, ces quelques exemples laissent présager des difficultés qui nous attendent.

- Ainsi, le plus grand des nombres n’existe pas, on peut toujours ajouter 1, même pour les grandes tailles. Se dessine la notion d’infini que l’on représente symboliquement par un huit couché. Mais, attention, le symbole ∞ lui n’est pas un nombre.

- Le plus petit des nombres n’existe pas non plus, on peut toujours y retranché un petit bout de plus. Par contre l’infiniment petit tend vers une valeur qui se symbolise par zéro, qui lui est un nombre (même s’il ne l’a pas toujours été dans l’histoire des mathématiques). On notera au passage que le symbole ∞ que l’on compare toujours à un huit couché pourrait être aussi comparé à deux zéros accolés.

A peine commencé que le champ est déjà vaste, les interrogations nombreuses et les problématiques ardues. Et pourtant, nous n’avons utilisé que 3 signes : un, zéro et infini.

On peut ainsi déjà affirmer qu’une numération est un système capable de faire beaucoup ….avec peu.

Et un, zéro et infini forment le triptyque sur lequel repose tout entier l’empire des nombres.

Ceci dit, s’il est vrai qu’aucune des numérations recensées historiquement n’a pu se passer du “un“, qu’il soit reconnu comme nombre ou pas d’ailleurs, il n’en est pas moins vrai que la plupart des systèmes de nombres ne possèdent pas de “zéro“, et que, tous sauf un, n’ont pas le moindre “infini“.

Ainsi, pour beaucoup de penseurs grecs, le “un“ n’était pas un nombre, il était présence, existence. En fait, les nombres commençaient, non pas à “deux“, mais à “plus d’un“.

Et, Euclide écrit comme première définition :

“Est unité ce selon quoi chacune des choses existantes est dite une“,

Il enchaîne comme deuxième définition :

“Un nombre est la multitude composée d’unité ».

Deux autres petits exemples :

La moitié, représentée par la fraction ½, est un nombre. Le tiers, représenté par la fraction 1/3, est aussi un nombre ;

Mais le premier peut aussi s’écrire “0,5“ et les nombres ½ et 0,5 sont identiques, ils ont la même valeur ; Pour le second, les valeurs 1/3, “0,33“, “0,333“, “0,3 333“, nous pourrions ne pas nous arrêter, sont toutes des nombres différents. Là aussi, l’infini pointe le bout de son nez…..

Tout cela n’est pas simple, sans parler des “Avogadro“, “Mach“, “Fermat“, “Mersenne“, “Wolf“, π et or qui sont aussi des nombres.

Avant toute autre chose, un peu d’histoire.

La vallée du Vicdessos, sur le flan de la montagne l’entrée de la grotte de Niaux. Dans la caverne sur la paroi, à peine éclairée, une scène de chasse. Le bison blessé se distingue nettement même si les couleurs sont, il est vrai, un peu passées. Et, tout à coté de l’animal, profondément marqués dans la roche : quatre traits. L’artiste primitif, économe de son travail, a compris qu’il lui était plus facile de figurer son histoire par un seul bison accompagné de quatre traits que par quatre bisons.

Donc, tout a commencé il y a fort longtemps, avec le besoin qu’a eu l’homme de quantifier les éléments qui l’entouraient : personnes, phases de la lune, gibier abattu, plus tard bétail et culture.

Mais l’humanité a mis des millénaires pour passer de la quantité aux nombres.

Les plus anciennes traces de représentations des nombres datent donc du paléolithique. Pour mémoriser combien il y avait d’éléments dans un ensemble de choses, les hommes commencèrent à marquer les parois des cavernes, puis vint ensuite l’entaille, sur un support donné : os, morceau de bois, etc.…

La numération orale a aussi été utilisée par les hommes primitifs. Les anciens Sumériens par exemple, employaient le mot “homme“ pour 1, “femme“ pour 2 et “plusieurs“ pour 3. Là aussi nous pourrions longuement nous arrêter………..

Et dès la moitié du IVème millénaire avant notre ère, on utilisait pour compter petits cailloux ou boulettes de terre sèche. Ainsi, chaque matin, les bergers recevaient une bourse contenant autant de boulettes qu’ils avaient de bêtes à garder. Le soir, il leur suffisait d’en retirer une chaque fois qu’une bête rentrait. Ainsi quand il ne restait plus de boulette, eh bien, … toutes les bêtes étaient à la maison.

C’est en Egypte, en 1 650 avant notre ère, que se trouvent les premières traces d’étude des nombres et notamment peut être du plus célèbre et mystérieux d’entre tous : le fameux nombre π (rapport du périmètre d’un cercle à son diamètre). Mais c’est en Grèce que commence véritablement l’histoire des nombres et plus particulièrement au sein de la communauté des pythagoriciens.

Car, les nombres sont une chose mais leur représentation en est une autre.

Ainsi, si le calcul digital a permis en Chine au XVIème siècle de dépasser le milliard, la numération telle que nous la connaissons et l’utilisons aujourd’hui a été introduite en Europe vers l’an 1 200. Avant cette date, les intellectuels, seuls capables d’écrire et de compter, revendiquaient leur origine gréco-latine et de ce fait utilisaient le système d’écriture romain.

Notre système d’écriture, lui, nous vient de l’Inde transmis par les Arabes. Les chiffres indo arabes ont la même origine que le zéro, ce dernier n’existant pas dans le monde gréco-romain.

En fait le remplacement du troc et de l’échange par la monnaie installe le nombre à une place essentielle dans les sociétés. Gravé dans le métal, imprimé sur des billets, écrit à la main sur les lettres de change et les chèques ou composé sur un clavier pour les cartes bancaires, le nombre dit la valeur. Sonnantes et trébuchantes, les espèces ne s’appellent-elles pas, d’ailleurs, numéraires ?

Les chiffres sont des nombres particuliers auxquels on confie la charge de représenter la totalité des autres nombres.

Ils sont ainsi désignés par des symboles particuliers.

Tels nos chiffres dits arabes : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 0.

Nous pouvons aussi citer :

Le clou et le poinçon de la numération sumérienne,

La fleur de lotus et la grenouille des égyptiens,

Le point et le trait chez les mayas.

En fait, dans l’écriture des nombres, les chiffrent jouent le même rôle que les lettres de l’alphabet dans l’écriture des mots. Et les nombres ont précédés les chiffres comme les mots ont précédé les lettres. Ainsi, de la même façon que “a“ est, à la fois, une lettre et un mot de la langue française, “3“ par exemple est un chiffre et un nombre de notre numération.

Dans la numération décimale, dix signes permettent une représentation illimitée de tous les nombres, alors que chez les romains, il n’existe que sept symboles : I, V, X, L, C, D et M. Mais par contre, la numération romaine est d’une grande faiblesse quant à la représentation des grands nombres, ainsi “888“, qui est représenté par 3 signes dans la notre numération universelle, s’écrit “DCCCLXXXVIII“ chez les romains, ce qui nécessite 12 signes. Et alors, la numération romaine devient tout à fait inopérante dans la pratique des calculs les plus simples. Tentez de comprendre selon quelle règle, 57 * 38 = 2 166, se traduit, chez les romains, en LVII * XXXVIII = MMCLXVI.

La numération décimale donc :

D’abord, les unités : 1, 2 etc.… au nombre de 10,

Puis les sept premiers nombres de la dizaine : 10, 11, 12, 13, 14, 15 et 16,

Ensuite les cinq dizaines que sont : 20, 30, 40, 50, 60,

Enfin : cent, mille, million, milliard, billion, trillion etc.… jusqu’au nonillion, qui ne vaut pas moins de 1054.

Ainsi avec moins de 30 noms nous pouvons nommer les nombres jusqu’à une longueur de 55 chiffres. C’est là, une des grandes richesses de cette numération, pour laquelle il s’avère nécessaire de rétablir une vérité historique. Les chiffres de “un“ à “neuf“ ont été inventés en Inde avant notre ère. Même si au tout début le principe de position n’y était pas appliqué, pas plus qu’on ne décelait la présence du “zéro“.

Il faudra attendre l’année 458 de notre ère, et la parution d’un traité de cosmologie écrit en sanscrit pour trouver le nombre “quatorze millions deux cent trente six mille sept cent treize“, écrit suivant le principe de position par la seule donnée de huit chiffres : 14 236 713.

Dans ce texte les huit chiffres en question sont inscrits en toutes lettres et de droite à gauche ; Mettant en application le fameux principe de position, dont un mathématicien disait : “Un âne sur la plus haute marche vaut plus qu’un lion sur la plus basse“. Ainsi, le 1 de 1 000 vaut plus que chacun des trois 9 de 999 ; mais de là à penser que le 1 est un âne et le 9 un lion… je vous laisse juge, et il y aurait beaucoup à dire sur l’histoire et la symbolique des chiffres.

De même, si ni les Sumériens, ni les Egyptiens, ni les Indiens d’avant notre ère, n’eurent la notion de nombres négatifs ; l’action de dénombrer correspondait à quantifier des objets physiquement présents donc des nombres positifs, ce sont encore les mathématiciens indiens qui furent les premiers à utiliser les nombres négatifs, et ce dès les VIème et VIIème siècle de notre ère et pour des besoins comptables. A l’opposé des biens, représentés par des nombres positifs, les dettes s’inscrivent comme des quantités négatives. Toute inscription de dettes et de biens ne peut s’effectuer que s’il existe une situation d’équilibre, celle dans laquelle les biens épurent les dettes. Plus généralement, il ne peut y avoir de nombres négatifs sans la présence de “zéro“.

Justement, restons encore un instant sur le “zéro“.

Ce fut un long chemin que celui du “zéro“. Il est né 300 ans avant notre ère chez les babylonien. Il est alors signe séparateur. On le retrouve, dès le début de notre ère chez les mayas, où il joue un rôle à peu près identique.

Mais alors… eh bien oui, ce sont encore et toujours les indiens qui le définissent et l’utilisent dans toute sa dimension. Et dans le même traité de l’an 458, dont on a parlé il y a quelques instants, il apparaît sous le nom de sunya, qui signifie le vide. Mais quand il a fallu passé du “zéro“ chiffre au “zéro“ nombre, ce ne fut pas une mince affaire. Avec le “zéro“ reconnu comme nombre, “il n’y a rien“ devient “il y a rien“. Zéro est une valeur, nous sommes passés de “il n’y en a pas “ à “il y en a zéro“.

Cela induit donc, que “zéro“ : chiffre qui traduit l’absence, est aussi nombre et valeur, frontière entre le positif et le négatif.

D’ailleurs, mathématiquement “zéro“ est défini comme étant le résultat de la soustraction d’un entier quelconque d’avec lui-même et “zéro“ est unique, alors que l’infini est multiple. Il n’y a qu’une façon d’être nul et une infinité de possibilités d’être infini (en mathématiques évidemment, car dans d’autres domaines c’est l’inverse).

Mais attention a ce zéro, l’avoir reconnu comme nombre semble être légitime mais il véhicule néanmoins des particularités dont il faut se méfier :

Il est totalement impuissant devant l’addition et la soustraction

Tout nombre + 0 ou tout nombre – 0 = au nombre en question

Il est en revanche tout puissant dans la multiplication

Tout nombre *0 = 0

L’élévation à la puissance reste tant qu’à elle particulière

n 0 = (si n est différent de zéro où là le résultat est alors 0) = 1

Par contre, attention à la division

On ne divise pas par zéro, c’est l’interdit suprême. En examen, cela implique le zéro immédiat.

Nous en étions donc en 458 avec ce traité sanscrit qui est à ce jour le document le plus ancien faisant état de notre numération.

La graphie des chiffres que nous utilisons ne vient donc pas du Moyen-Orient arabe mais des Arabes occidentaux de l’Espagne maure. Le chemin empreinté fut étonnamment long : Inde – Moyen Orient arabe – Afrique du Nord – Espagne maure. Le voyage ne dura pas moins de 800 ans.

Peu à peu l’origine indienne de ce calcul qui se répandait à travers le monde fut oubliée ; et on ne se souvint que de ceux desquels on l’avait reçu. Et les figures indiennes devinrent les chiffres arabes, et le “zéro“ une invention arabe. Eh bien, merci à ceux qui nous les ont transmis, mais surtout merci aux indiens qui sont bel et bien les inventeurs de ce merveilleux système que forment la numération décimale, “zéro“, les nombres négatifs et tout le reste….

Après les chiffres et leurs représentations, rapidement, quelques mots sur les bases que nous se saurions oublier.

Les pythagoriciens définissaient ainsi la base de 10 :

Le point est le nombre 1

La ligne est le nombre 2

La surface est, elle, le nombre 3 (la surface stable étant un trépied)

Le volume est, lui, le nombre 4 (le volume stable étant la pyramide à base triangulaire)

Ces quatre premiers nombres constituent le triangle sacré et leur somme 1+2+3+4 est égale à 10, d’où le point de vue philosophique qui donne la paternité aux pythagoriciens dans l’expression décimale de notre numération moderne.

En fait, on considère largement plus volontiers que la base dix vient du fait que l’on possède 10 doigts.

Par ailleurs, plus un nombre est divisible, plus il a de parties. Et plus il a de parties, plus il se révèle utile dans le maximum d’usages. Ainsi le nombre 100 connaît 9 diviseurs qui sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 et 100. Mais prenez le nombre 60, qui est juste un peu plus que sa moitié, il compte lui 12 diviseurs : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60. C’est sûrement pourquoi, le nombre soixante était une valeur de base en Mésopotamie. Et il en reste aujourd’hui un certain nombre de traces :

Les heures, minutes et secondes

La mesure des angles

Notre numération même : avec soixante-dix

Sans compter que soixante a aussi entraîné dans son sillage son sous-multiple 12, qui lui ne connaît pas moins de 6 diviseurs ; rappelons que le nombre 10 n’en connaît que 4. C’est ainsi que l’on achète 12 œufs et, et on va pas s’en plaindre, que l’on mange 12 huîtres ou 12 escargots.

De même si vous devez couper une tarte en plusieurs morceaux. Lequel choisirez-vous entre les diviseurs que sont 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 et 12 ? Là aussi la base 60 et ses sous-multiples tient la première place du podium, podium qui compte d’ailleurs 3 marches.

Hormis la numération de base 10 et 60, il en est une autre quotidiennement employée. C’est la numération binaire, elle utilise seulement deux chiffres : 0 et 1. En fait, après le pur dénombrement, c’est ce que l’on peut imaginer de plus simple. C’est ainsi que l’utilisation du binaire dans le codage des nombres donne aux ordinateurs leur extraordinaire puissance. La longueur des nombres en binaire est au moins double de ce qu’elle est en décimale. Pour l’homme, cette longueur rend le binaire impraticable mais elle ne gène par contre en rien les ordinateurs.

Ces suites de 1 et de 0, interprétées comme suites de Oui et Non, deviennent ainsi facilement codifiables à l’aide de dispositifs physiques simples qui sont fondés sur la propagation de l’électricité. Le courant passe cela équivaut à 1, il ne passe pas c’est alors 0. Et, la vitesse de propagation du courant est telle que le codage des nombres même longs se fait en des temps extrêmement courts.

Restons encore quelques instants sur notre fameuse numération décimale et à ses règles d’écriture dans notre très chère langue française. Règles qui ne sont, dans ce domaine comme dans bien d’autres, pas toujours faciles.

Les mots composés d’abord :

Les mots composés prennent un trait d’union,

Dix-sept

Cinquante-trois

Sauf pour les nombres se terminant par 1 ou l’on remplace le trait d’union par et,

Vingt et un

Soixante et onze

Et à l’exception de 81 et 91 qui prennent, eux, un trait d’union.

Les accords maintenant :

* 20 et 100 s’accordent quand ils sont multipliés par un nombre sans être suivis par un autre nombre,

Quatre-vingts (vingt avec s)

Quatre-vingt-trois (vingt sans s)

* Mille est toujours invariable. Par contre il est possible d’écrire mil (m-i-l), mais seulement dans une date. Millier, million, milliard quant à eux s’accordent.

* Un est invariable en nombre mais pas en genre,

Cinquante et un livres, un sans s

Cinquante et une pages, une avec un e pas de s

Mais attention, le pluriel ne commence qu’à 2,

1 million (million sans s)

2 millions (million avec s)

1,9 million (million sans s)


Les particularités locales enfin pour en finir avec la numération décimale :

Quelques mots au sujet des Belges et des Suisses qui, comme chacun sait, ne disent pas 70 et 90 mais septante et nonante, et pour certains Suisses huitante pour 80. Ce qui, il faut le dire, est loin d’être dénué de toute logique…….

Une explication à l’exception française viendrait de Louis XIV.

Son règne fût en effet très long. Et passé 60 ans, le roi soleil se sentant vieillir vivait très mal son prochain changement de dizaine. Aussi pour rester jeune, à l’issue de sa soixante-neuvième année on dit que le roi avait soixante-dix ans ; ce qui fait quant même beaucoup plus jeune que septante ans. Le roi mourût dans sa 77ème année. Dommage, car tout était déjà prévu, et 3 ans plus tard il aurait encore plus rajeuni en fêtant ses quatre-vingts ans.

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Nous ne serions parler des nombres sans s’arrêter quelques instants sur les deux géants hors catégorie que sont pi et le nombre d’or.

Commençons par π, on devrait dire autour de π. En fait π est la représentation symbolique d’un rapport entre deux grandeurs. Il a posé, tout autant qu’il ne pose pas encore, de difficiles problèmes aux mathématiciens. Depuis le plus haute antiquité, les calculateurs se sont aperçus que tous les cercles avaient quelque chose en commun : leur diamètre et leur circonférence entretenaient le même rapport. Par contre, ce lien est irrationnel et on ne peut en connaître exactement la valeur, 3,14 15 92 65 35 etc.…

Cela implique que la circonférence d’un cercle peut ne pas s’arrêter de grandir En tout cas, plus la précision de π est importante, plus la valeur de cette circonférence est grande.

On comprend aisément que les mathématiciens se soient pris la tête avec π.

Car est-ce à dire qu’un 400 mètres sur nos stades olympiques n’aurait pas la même longueur qu’un 400 mètres qui serait tracé en ligne droite. Selon les stades le record du monde du 400 mètres s’en trouverait alors remis en cause, on pourrait parler du record du monde du presque 400 mètres, de celui du un peu plus de 400 mètres, du record du monde de l’environ 400 mètres ou encore de celui de l’à peu près 400 mètres ; pas simple….

Non moins célèbre, non moins magique, le fameux nombre d’or et ses cotés mythique et mystique.

On le désigne par la lettre grecque φ (phi) et tout comme π son écriture décimale est infinie, 1,61 80 33 99 etc.… Il est en fait la solution positive de l’équation du second degré x²-x-1=0 et sa valeur est égale à (1 + √5) / 2.

« Divine proportion » pour le mathématicien et moine franciscain Luca Pacioli en 1 500, un siècle plus tard le physicien Johannes Kepler le désigne comme « joyau de la géométrie », alors que pour Léonard de Vinci c’est « la section dorée ». Il faudra attendre 1932 pour que le diplomate et ingénieur Matila Ghyka parle de nombre d’or.

Quel parcours, quelle présence : Il est partout pour certains, on le met partout selon d’autres…..

La pyramide de Kheops, le Parthénon à Athènes, les cathédrales et monuments de part le monde ; les architectes ne seraient-ils alors maîtres que de la dimension du premier trait, les autres en découlant automatiquement selon la proportion magique ?

Le tournesol, la pomme de pin, l’ananas, les volutes des coquillages …. Jusqu’au quasi-cristaux …. sans oublier la peinture et la décoration …. En passant par la position de notre nombril ou la longueur de nos phalanges …. Sans parler de la reproduction des lapins tout serait régi par la suite de Fabonacci et donc le nombre d’or.

Il est magique, rappelons par exemple que pour calculer son carré il suffit de lui ajouter 1 et que pour son inverse on lui retranche tout simplement 1.

Par contre, le nombre d’or qui symbolise la perfection pèche mathématiquement par une imperfection, qu’il partage aussi avec π, il est irrationnel.

C’est pourquoi, il n’a vraisemblablement pas fini de poser des problèmes à celui qui veut le comprendre.

Citons à cette occasion, le grand mathématicien allemand du XXème siècle, David HILBERT, a qui on signalait qu’un de ses élèves avait renoncé aux mathématiques pour se consacrer à la poésie. Il répondit : » Je n’y attendait, j’ai toujours pensé qu’il n’avait pas assez d’imagination pour devenir mathématicien ».

Ordonner, calculer, mesurer, quantifier, numéroter, numériser, le nombre est partout ; dans les sciences bien sûr, mais aussi dans la métrologie, les probabilités, les statistiques, la démographie, la comptabilité, la stratégie, l’esthétique, l’économie, la psychologie…

La numérisation du monde est de plus en plus réelle, de plus en plus présente, de plus en plus puissante. Notre société s’identifie avec le calcul de nombres : taux, indices, effectifs, pourcentages, écarts et moyennes, cotes et cours, notes et coefficients, calibres, fréquences et teneurs, dividendes. On fait porter aux nombres la responsabilité de dire tout. Certains parlent même de dictature du nombre ?

« Les grandes personnes aiment les chiffres. Quand vous leur parlez d’un nouvel ami elles ne vous questionnent jamais sur l’essentiel. Elles ne vous disent jamais : »Quel est le son de sa voix ? Quels sont les jeux qu’il préfère ? Est-ce qu’il collectionne les papillons ? » Elles vous demandent : » Quel âge a-t-il ? Combien a-t-il de frères ? Combien pèse-t-il ? Combien gagne son père ? » Alors seulement elles croient le connaître «, nous confie le Petit Prince de Saint-Exupéry.

Tant qu’à Planton, il écrit dans La République, vingt cinq siècles plus tôt : « Vraiment j’aperçois combien la science des nombres est belle et utile quand on s’en occupe pour la connaître et non pour en trafiquer. »

J’ai dit,

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Alex 05/05/2008 22:09

2 Planches très complémentaires et sans concertations en plus :) 1 + 1 = 1 très belle planche :)